Fit fürs Studium - Mathematik

MINT-Studiengänge sind beliebt und die Abschlüsse gefragter denn je. Sie halten aber auch einige Herausforderungen bereit - nicht zuletzt, weil Mathematik für sie unverzichtbar ist und mitunter in hohem Tempo vermittelt wird. Keine Sorge: Mit diesem Buch knüpfen Sie an Ihr Schulwissen an, lernen Schritt für Schritt genau das, was Sie noch brauchen, und festigen Ihre Kenntnisse durch Aufgaben, die zu jedem Kapitel mit ausführlichen Lösungen bereitstehen. Sie lernen außerdem, mit der freien Mathematik-Software SageMath zu arbeiten. Gönnen Sie sich die Vorlaufzeit und gehen Sie gut vorbereitet an den Start! Aus dem Inhalt: - Mathematische Grundlagen mit Tests zur Selbsteinschätzung - Logarithmen und Wurzeln - Sinus und Co. gründlich beleuchtet - Folgen, Reihen und Grenzwerte - Stetigkeit und Monotonie - Ableitungen und Integrale - Komplexe Zahlen - Wahrscheinlichkeiten und Statistik - Bool'sche Algebra, Aussagenlogik und Digitale - Beweistechniken - Kurvendiskussion - Mantelflächen und Rotationskörper integrieren - Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung - Polar- und Kugelkoordinaten - Differentialrechnung in mehreren Dimensionen - Vektoren, Vektorräume und Matrizen - Analytische Geometrie - Einführung in numerische Verfahren - Arbeiten mit Mathematik-Software
Die Fachpresse zur Vorauflage:
LINUX MAGAZIN: '"Fit fürs Studium" eignet sich sehr gut für das selbstständige Wiederholen des Schulstoffs.'
lauter.campus - Lausitzer Hochschulmagazin : 'Mit diesem Buch optimal vorbereitet ins MINT-Studium starten!'

Uwe Post hat ein Diplom in Physik und Astronomie und entwickelt Smartphone-Apps und -Spiele. Er schreibt Fachartikel in Computerzeitschriften, allerdings deutlich mehr Science-Fiction-Geschichten. Sein Roman 'Walpar Tonnraffir und der Zeigefinger Gottes' gewann 2011 den Kurd-Laßwitz-Preis und den Deutschen Science-Fiction-Preis. Wenn er nicht gerade neue Android- und Computerspiele oder Bücher schreibt, ist er anderweitig hyperaktiv.

Einleitung ... 21
TEIL I. Grundlagen ... 23
1. Mengenweise Mengen ... 24
1.1 ... Testen Sie sich selbst ... 25
1.2 ... Mengen und Elemente ... 25
1.3 ... Entspannungsübungen ... 30
1.4 ... Lösungen ... 30
2. Gesetze der Algebra ... 32
2.1 ... Testen Sie sich selbst ... 33
2.2 ... Gesetze, die jeder kennt ... 34
2.3 ... Brüche, gemischt und dezimal ... 40
2.4 ... Potenzen und Wurzeln ... 47
2.5 ... Entspannungsübungen ... 51
2.6 ... Lösungen ... 52
3. (Un-)gleichungen ... 56
3.1 ... Testen Sie sich selbst ... 57
3.2 ... Einfache Gleichungen und Ungleichungen ... 58
3.3 ... Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen ... 61
3.4 ... Gleichungssysteme ... 65
3.5 ... Sachaufgaben ... 68
3.6 ... Gleichungen lösen mit dem PC ... 71
3.7 ... Entspannungsübungen ... 76
3.8 ... Lösungen ... 77
4. Funktionen im kartesischen Koordinatensystem ... 86
4.1 ... Testen Sie sich selbst ... 87
4.2 ... Das Achsenkreuz ... 87
4.3 ... Lineare Funktionen ... 89
4.4 ... Parabeln ... 92
4.5 ... Wurzel- und andere Funktionen ... 98
4.6 ... Entspannungsübungen ... 101
4.7 ... Lösungen ... 102
5. e und log ... 110
5.1 ... Testen Sie sich selbst! ... 111
5.2 ... Mehr, mehr, mehr! ... 111
5.3 ... Logarithmen und ihre Regeln ... 117
5.4 ... Entspannungsübungen ... 121
5.5 ... Lösungen ... 122
6. Sinus und Cosinus ... 128
6.1 ... Testen Sie sich selbst ... 129
6.2 ... Rechtwinklige Dreiecke ... 130
6.3 ... Der Einheitskreis ... 134
6.4 ... Entspannungsübungen ... 143
6.5 ... Lösungen ... 144
7. Wo ist meine Einheit? ... 148
7.1 ... Testen Sie sich selbst ... 149
7.2 ... Hoch, weit, schwer ... 149
7.3 ... Von piko bis Tera ... 153
7.4 ... Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen ... 155
7.5 ... Runden, aber sinnvoll ... 156
7.6 ... Entspannungsübungen ... 159
7.7 ... Lösungen ... 160
8. Flächen und Räume ... 164
8.1 ... Testen Sie sich selbst ... 165
8.2 ... Flächeninhalt und Umfang ... 165
8.3 ... Volumen und Oberfläche ... 169
8.4 ... Entspannungsübungen ... 173
8.5 ... Lösungen ... 174
9. Vielleicht sechs Richtige ... 178
9.1 ... Testen Sie sich selbst ... 179
9.2 ... Statistik ... 179
9.3 ... Wahrscheinlichkeit ... 188
9.4 ... Entspannungsübungen ... 195
9.5 ... Lösungen ... 195
10. Herrn Booles Algebra ... 198
10.1 ... Testen Sie sich selbst ... 199
10.2 ... Aussagenlogik ... 199
10.3 ... Wie Computer rechnen ... 202
10.4 ... Entspannungsübungen ... 206
10.5 ... Lösungen ... 206
11. Was zu beweisen ist ... 208
11.1 ... Mathematische Beweise ... 209
11.2 ... Vollständige Induktion ... 209
11.3 ... Indirekter Beweis ... 211
11.4 ... Entspannungsübung ... 215
11.5 ... Lösungen ... 215
TEIL II. Analysis ... 219
12. Folgen und Grenzwerte ... 220
12.1 ... Zahlenfolgen ... 221
12.2 ... Grenzwerte und Konvergenz ... 224
12.3 ... Entspannungsübungen ... 227
12.4 ... Lösungen ... 227
13. Reihen ... 230
13.1 ... Unendliche Summen ... 231
13.2 ... Besondere Reihen ... 233
13.3 ... Entspannungsübungen ... 237
13.4 ... Lösungen ... 237
14. Stetigkeit und Monotonie ... 238
14.1 ... Grenzwerte von Funktionen ... 239
14.2 ... Stetige Funktionen ... 246
14.3 ... Entspannungsübungen ... 250
14.4 ... Lösungen ... 250
15. Funktionen ableiten ... 254
15.1 ... Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit! ... 255
15.2 ... Die Steigung der Tangenten ... 258
15.3 ... Ableitungsregeln ... 262
15.4 ... Entspannungsübungen ... 269
15.5 ... Lösungen ... 270
16. Noch mehr Funktionen ableiten ... 274
16.1 ... Exponentialfunktion ableiten ... 275
16.2 ... Trigonometrische Funktionen ... 279
16.3 ... Entspannungsübungen ... 283
16.4 ... Lösungen ... 283
17. Eigenschaften von Funktionen ... 286
17.1 ... Funktionengeometrie ... 287
17.2 ... Königsdisziplin Kurvendiskussion ... 298
17.3 ... Funktionen à la carte ... 302
17.4 ... Entspannungsübungen ... 309
17.5 ... Lösungen ... 309
18. Integralrechnung ... 316
18.1 ... Das riemannsche Integral ... 317
18.2 ... Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ... 320
18.3 ... Anwendungen der Integration ... 334
18.4 ... Entspannungsübungen ... 339
18.5 ... Lösungen ... 340
19. Die Bewegungsgleichung ... 344
19.1 ... Kraft und Beschleunigung ... 345
19.2 ... Die zweite Dimension ... 349
19.3 ... Entspannungsübungen ... 355
19.4 ... Lösungen ... 355
20. Die Differentialgleichung erster Ordnung ... 358
20.1 ... Wo Differentialgleichungen vorkommen ... 359
20.2 ... Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen ... 362
20.3 ... Entspannungsübungen ... 370
20.4 ... Lösungen ... 370
21. Das Pünktchen auf dem i ... 372
21.1 ... Die komplexen Zahlen ... 373
21.2 ... Die komplexe Zahlenebene ... 377
21.3 ... Die eulersche Formel ... 382
21.4 ... Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen ... 384
21.5 ... Entspannungsübungen ... 386
21.6 ... Lösungen ... 387
22. Hin und wieder zurück ... 388
22.1 ... Der harmonische Oszillator ... 389
22.2 ... Differentialgleichung zweiter Ordnung ... 392
22.3 ... Entspannungsübungen ... 400
22.4 ... Lösungen ... 400
23. Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren ... 404
23.1 ... Kurvenlängen integrieren ... 405
23.2 ... Mantelflächenintegrale ... 408
23.3 ... Entspannungsübungen ... 411
23.4 ... Lösungen ... 411
24. Nicht-kartesische Koordinatensysteme ... 414
24.1 ... Polarkoordinaten ... 415
24.2 ... Dreidimensionale Koordinatensysteme ... 420
24.3 ... Entspannungsübungen ... 424
24.4 ... Lösungen ... 424
TEIL III. Lineare Algebra ... 427
25. Vektorrechnung ... 428
25.1 ... Vektoren in der euklidischen Ebene ... 429
25.2 ... Die Basis ... 434
25.3 ... Entspannungsübungen ... 439
25.4 ... Lösungen ... 440
26. Lineare Gleichungssysteme ... 444
26.1 ... Das Gauß-Verfahren ... 445
26.2 ... Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ... 448
26.3 ... Entspannungsübungen ... 455
26.4 ... Lösungen ... 455
27. Willkommen in der Matrix ... 458
27.1 ... Lineare Abbildungen ... 459
27.2 ... Verknüpfung linearer Abbildungen ... 462
27.3 ... Entspannungsübungen ... 470
27.4 ... Lösungen ... 470
28. Eigenwerte, Determinanten und Co. ... 472
28.1 ... Matrizen unter der Lupe ... 473
28.2 ... Eigenwerte ... 476
28.3 ... Produkte ... 482
28.4 ... Entspannungsübungen ... 487
28.5 ... Lösungen ... 488
29. Besondere Matrizen anwenden ... 492
29.1 ... Geometrische Transformationen ... 493
29.2 ... Bildbearbeitung ... 498
29.3 ... Entspannungsübungen ... 501
29.4 ... Lösungen ... 501
30. Mehrdimensionale Analysis ... 504
30.1 ... Abbildungen in mehr als einer Dimension ... 505
30.2 ... Differentialrechnung in R^n ... 508
30.3 ... Entspannungsübungen ... 515
30.4 ... Lösungen ... 515
31. Numerische Verfahren ... 518
31.1 ... Intervallschachtelung ... 519
31.2 ... Interpolation ... 522
31.3 ... Ausgleichsrechnung ... 526
31.4 ... Numerische Integration ... 528
31.5 ... Entspannungsübungen ... 532
31.6 ... Lösungen ... 533
32. Analytische Geometrie ... 536
32.1 ... Ein Universum voller Vektoren ... 537
32.2 ... Begegnungen im Nichts ... 550
32.3 ... Entspannungsübungen ... 560
32.4 ... Lösungen ... 561
Anhang ... 566
Index ... 571